已知定義域為的函式是奇函式．（1）求，的值；（2）用定義*在上為減函式；（3）若對於任意，不等式恆成立，求的...

問題詳情：

已知定義域為的函式是奇函式．

（1）求，的值；

（2）用定義*在上為減函式；

（3）若對於任意，不等式恆成立，求的範圍．

【回答】

（1），；（2）*見解析；（3）.

【解析】

（1）根據奇函式定義，利用且，列出關於、的方程組並解之得；

（2）根據函式單調*的定義，任取實數、，通過作差因式分解可*出：當時，，即得函式在上為減函式；

（3）根據函式的單調*和奇偶*，將不等式轉化為：對任意的都成立，結合二次函式的圖象與*質，可得的取值範圍．

【詳解】

解：（1）為上的奇函式，，可得

又（1）

，解之得

經檢驗當且時，，滿足是奇函式．

（2）由（1）得，

任取實數、，且

則

，可得，且

，即，函式在上為減函式；

（3）根據（1）（2）知，函式是奇函式且在上為減函式．

不等式恆成立，即

也就是：對任意的都成立．

變數分離，得對任意的都成立，

，當時有最小值為

，即的範圍是．

【點睛】

本題以含有指數式的分式函式為例，研究了函式的單調*和奇偶*，並且用之解關於的不等式，考查了基本初等函式的簡單*質及其應用，屬於中檔題．

知識點：基本初等函式I

題型：解答題