．如圖，△ABC內接於⊙O，AD是⊙O直徑，過點A的切線與CB的延長線交於點E．（1）求*：EA2=EB•EC...

問題詳情：

．如圖，△ABC內接於⊙O，AD是⊙O直徑，過點A的切線與CB的延長線交於點E．

（1）求*：EA2=EB•EC；

（2）若EA=AC，，AE=12，求⊙O的半徑．

【回答】

【考點】切線的*質；相似三角形的判定與*質．

【分析】（1）由弦切角定理，可得∠EAB=∠C，繼而可*得△BAE∽△ACE，然後由相似三角形的對應邊成比例，*得EA2=EB•EC；

（2）首先連線BD，過點B作BH⊥AE於點H，易*得∠E=∠C=∠D=∠EAB，然後由三角函式的*質，求得直徑AD的長，繼而求得⊙O的半徑．

【解答】（1）*：∵AE是切線，

∴∠EAB=∠C，

∵∠E是公共角，

∴△BAE∽△ACE，

∴EA：EC=EB：EA，

∴EA2=EB•EC；

（2）解：連線BD，過點B作BH⊥AE於點H，

∵EA=AC，

∴∠E=∠C，

∵∠EAB=∠C，

∴∠EAB=∠E，

∴AB=EB，

∴AH=EH=AE=×12=6，

∵cos∠EAB=，

∴cos∠E=，

∴在Rt△BEH中，BE==，

∴AB=，

∵AD是直徑，

∴∠ABD=90°，

∵∠D=∠C，

∴cos∠D=，

∴sin∠D=，

∴AD==，

∴⊙O的半徑為．

知識點：相似三角形

題型：綜合題