已知函式f(x)＝2x3－3(k＋1)x2＋6kx＋t，其中k，t為實數，記區間[－2，2]為I．  （1）若...

問題詳情：

已知函式f (x)＝2x3－3(k＋1)x2＋6kx＋t，其中k，t為實數，記區間[－2，2]為I．

   （1）若函式f (x)的影象與x軸相切於點(2，0)，求k，t的值；

   （2）已知k≥1，如果存在x0∈(－2，2)，使得f (x0)為f (x)在I上的最大值，求k的取值範圍；

   （3）已知－＜k＜－3，若對於任意x∈I，都有f (x)≥6(x－2)ex，求t的最小值．（e2≈7.39）

【回答】

（1）f′(x)＝6x2－6(k＋1)x＋6k＝6(x－1)(x－k)，

因為函式f (x)的影象與x軸相切於點(2，0)，於是f (2)＝0，f′(2)＝0，

即2－k＝0，16－12(k＋1)＋12k＋t＝0，解得k＝2，t＝－4．

（2）當k≥2時，f (x)在(－2，1)上單調遞增，在(1，2)上單調遞減，

於是存在x0＝1，使得f (x0)為f (x)在I上的最大值；

當k＝1時，f′(x)≥0恆成立，故f (x)在I上單調遞增，

故不存在x0∈(－2，2)，使得f (x0)為f (x)在I上的最大值；

當1＜k＜2時，f (x)在(－2，1)上單調遞增，在(1，k)上單調遞減，在(k，2)上單調遞增，

於是若存在x0∈(－2，2)，使得f (x0)為f (x)在I上的最大值，則必有f (1)≥f (2)，

即k≥，又1＜k＜2，於是≤k＜2；

綜上，k≥．

（3）對於任意x∈I，都有f (x)≥6(x－2)ex，

即對於任意x∈I，都有2x3－3(k＋1)x2＋6kx＋t≥6(x－2)ex

 即t≥6(x－2)ex－2x3＋3(k＋1)x2－6kx

 設g (x)＝6(x－2)ex－2x3＋3(k＋1)x2－6kx，x∈[－2，2]，

 則g′(x)＝6(x－1)( ex－x＋k)，令h(x)＝ex－x＋k，x∈[－2，2]，

 則h′(x)＝ex－1，於是h(x)在(－2，0)上單調遞減，在(0，2)上單調遞增，

 又h(－2)＝＋2＋k＜＋2－3＝－1＜0，於是當x∈[－2，0]時h(x)＜0恆成立，

又h(1)＝e－1＋k＜e－1－3＝e－4＜0，h(2)＝e2－2＋k＞e2－2－＝e2－＞0，

因此h(x)＝ex－x＋k，x∈[－2，2]存在唯一的零點x0∈(1，2)，

於是g (x)在(－2，1)上單調遞增，在(1，x0)上單調遞減，在(x0，2)上單調遞增，

所以g (x)max＝max{ g (1)，g (2)}．

又g (1)－g (2)＝(1－6e－3k)－(－4)＝5－6e－3k＜5－6e－3(－)＝15－6e＜0，於是g (1)＜g (2)，

所以g (x)max＝g (2)＝－4，即t≥－4，因此t的最小值是－4．

【說明】本題主要考查利用導數求函式的最值，分類討論思想及函式極值點常見的處理方法．其中第三問要能通過給定的k的範圍比較相關量的大小．

知識點：導數及其應用

題型：解答題