已知函式f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值，且在x=0處的切線的斜率為﹣3． (1)求f（...

問題詳情：

已知函式f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值，且在x=0處的切線的斜率為﹣3．

(1) 求f（x）的解析式；

(2) 求過點A（2，2）的切線方程．

【回答】

（1）解：函式f（x）=ax3+bx2+cx的導數為f'（x）=3ax2+2bx+c，依題意，又f'（0）=﹣3即c=﹣3 ∴a=1，b=0， ∴f（x）=x3﹣3x （2）解：設切點為（x0 ， x03﹣3x0）， ∵f'（x）=3x2﹣3∴切線的斜率為f'（x0）=3x02﹣3， ∴切線方程為y﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（x﹣x0），又切線過點A（2，2）， ∴2﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（2﹣x0）， ∴2x03﹣6x02+8=0，即為2（x0+1）（x0﹣2）2=0，解得x0=﹣1或2，可得過點A（2，2）的切線斜率為0或9，即有過點A（2，2）的切線方程為y﹣2=0或y﹣2=9（x﹣2），即為y﹣2=0或9x﹣y﹣16=0