已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1時取得極值，且f(1)＝－1.(1)試求常數a，b，c的...

問題詳情：

已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1時取得極值，且f(1)＝－1.

(1)試求常數a，b，c的值．

(2)試判斷x＝±1是函式的極小值點還是極大值點，並說明理由．

【回答】

 解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.

因為x＝±1是函式f(x)的極值點，

所以x＝±1是方程f′(x)＝0，即3ax2＋2bx＋c＝0的兩根，由根與係數的關係，得

又f(1)＝－1，

所以a＋b＋c＝－1.③

由①，②，③解得a＝，b＝0，c＝－.

(2)f(x)＝x3－x，

所以f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．

當x＜－1或x＞1時，f′(x)＞0；

當－1＜x＜1時，f′(x)＜0.

所以函式f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函式，在(－1,1)上是減函式．

所以當x＝－1時，函式取得極大值f(－1)＝1，當x＝1時，函式取得極小值f(1)＝－1.

知識點：導數及其應用

題型：解答題