已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率為,右焦點到直線x+y+=0的距離為2.(1)求橢圓的方程;(2)過點M(...
問題詳情:
已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率為,右焦點到直線x+y+=0的距離為2.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點M(0,-1)作直線l交橢圓於A,B兩點,交x軸於N點,且滿足=-,求直線l的方程.
【回答】
解:(1)設橢圓的右焦點為(c,0)(c>0),則=2,c+=±2,c=或c=-3(捨去).
又離心率=,=,故a=2,b==,故橢圓的方程為+=1.
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,0),因為=-,
所以(x1-x0,y1)=-(x2-x0,y2),y1=-y2.①
易知當直線l的斜率不存在或斜率為0時,①不成立,
於是設直線l的方程為y=kx-1(k≠0),
聯立方程,得
消去x得(4k2+1)y2+2y+1-8k2=0,②
因為Δ>0,所以直線與橢圓相交,
於是y1+y2=-,③
y1y2=, ④
由①③得,y2=,y1=-,
代入④整理得8k4+k2-9=0,k2=1,k=±1,
所以直線l的方程是y=x-1或y=-x-1.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題
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