已知橢圓C：x2＋2y2＝4．(1)求橢圓C的離心率．(2)設O為原點．若點A在直線y＝2上，點B在橢圓C上，...

問題詳情：

已知橢圓C：x2＋2y2＝4．

(1)求橢圓C的離心率．

(2)設O為原點．若點A在直線y＝2上，點B在橢圓C上，且OA⊥OB，求線段AB長度的最小值．

【回答】

解：(1)由題意，橢圓C的標準方程為＋＝1．

所以a2＝4，b2＝2，從而c2＝a2－b2＝2．

因此a＝2，c＝．

故橢圓C的離心率e＝＝．

(2)設點A，B的座標分別為(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0．

因為OA⊥OB，所以＝0，

即tx0＋2y0＝0，

解得t＝－．又x＋2y＝4，所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝＋(y0－2)2

因為＋≥4(0<x≤4)，

若且唯若x＝4時等號成立，

所以|AB|2≥8．

故線段AB長度的最小值為2．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題