如圖所示的軌道由半徑為R的1/4光滑圓弧軌道AB、豎直臺階BC、足夠長的光滑水平直軌道CD組成。小車的質量為M...

問題詳情：

如圖所示的軌道由半徑為R的1/4光滑圓弧軌道AB、豎直臺階BC、足夠長的光滑水平直軌道CD組成。小車的質量為M，緊靠臺階BC且上表面水平與B點等高。一質量為m的可視為質點的滑塊自圓弧頂端A點由靜止下滑，滑過圓弧的最低點B之後滑到小車上。已知M＝4m，小車的上表面的右側固定一根輕*簧，*簧的自由端在Q點，小車的上表面左端點P與Q點之間是粗糙的，滑塊與PQ之間表面的動摩擦因數為μ，Q點右側表面是光滑的。求：

(1)滑塊滑到B點的瞬間對圓弧軌道的壓力大小。

(2)要使滑塊既能擠壓*簧，又最終沒有滑離小車，則小車上PQ之間的距離L應在什麼範圍內？(滑塊與*簧的相互作用始終在*簧的**範圍內)

【回答】

 (1)設滑塊滑到B點的速度大小為v，到B點時軌道對滑塊的支援力為N，由機械能守恆定律有：  mgR＝mv2①

滑塊滑到B點時，由牛頓第二定律有：  N－mg＝m②

聯立①②式解得：N＝3mg③

根據牛頓第三定律，滑塊在B點對軌道的壓力大小為  N′＝3mg.

(2)滑塊最終沒有離開小車，滑塊和小車必然具有共同的末速度設為u，滑塊與小車組成的系統動量守恆，有  mv＝(M＋m)u④

若小車PQ之間的距離L足夠大，則滑塊可能不與*簧接觸就已經與小車相對靜止，設滑塊恰好滑到Q點，由功能關係得  μmgL＝mv2－(M＋m)u2⑤

聯立①④⑤式解得：L＝⑥

若小車PQ之間的距離L不是很大，則滑塊必然擠壓*簧，由於Q點右側是光滑的，滑塊必然被*回到PQ之間，設滑塊恰好回到小車的左端P點處，由功能關係得

2μmgL＝mv2－(M＋m)u2⑦

聯立①④⑦式解得：L＝⑧

綜上所述並由⑥⑧式可知，要使滑塊既能擠壓*簧，又最終沒有離開小車，PQ之間的距離L應滿足的範圍是：≤L≤.

(1)3mg  (2) ≤L≤

知識點：專題四 功和能

題型：綜合題