已知函式，其導函式的最大值為.（1）求實數的值；（2）若，*：.

問題詳情：

已知函式，其導函式的最大值為.

（1）求實數的值；

（2）若，*：.

【回答】

【詳解】（1）由題意，函式的定義域為，其導函式

記則.

當時，恆成立，所以在上單調遞增，且.

所以，有，故時不成立；

當時，若，則；若，則.

所以在單調遞增，在單調遞減。

所以.

令，則.

當時，；當時，.所以在的單減，在單增.

所以，故.

（2）當時，，則.

由（1）知恆成立，

所以在上單調遞減，

且，

不妨設，則，

欲*，只需*，因為在上單調遞減，

則只需*，又因為，

則只需*，即.

令（其中），且.

所以欲*，只需*，

由，

整理得：，

，

所以在區間上單調遞增，

所以，，

所以函式在區間上單調遞減，

所以有，，故.

【點睛】本題考查利用導數研究函式的最值問題，涉及分類討論的數學思想，建構函式解決極值點偏移問題，題目較綜合，屬於難題.

知識點：導數及其應用

題型：解答題