[2012·湖南卷]如圖1-7,在四稜錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥B...
問題詳情:
[2012·湖南卷] 如圖1-7,在四稜錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.
(1)*:BD⊥PC;
(2)若AD=4,BC=2,直線PD與平面PAC所成的角為30°,求四稜錐P-ABCD的體積.
【回答】
解:(1)*:因為PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.
圖1-8
又AC⊥BD,PA,AC是平面PAC內的兩條相交直線,所以BD⊥平面PAC.
而PC⊂平面PAC,所以BD⊥PC.
(2)設AC和BD相交於點O,連結PO,由(1)知,BD⊥平面PAC,所以∠DPO是直線PD和平面PAC所成的角.從而∠DPO=30°.
由BD⊥平面PAC,PO⊂平面PAC知,BD⊥PO.
在Rt△POD中,由∠DPO=30°得PD=2OD.
因為四邊形ABCD為等腰梯形,AC⊥BD,所以△AOD,△BOC均為等腰直角三角形.從而梯形ABCD的高為AD+BC=×(4+2)=3,於是梯形ABCD的面積S=×(4+2)×3=9.
在等腰直角三角形AOD中,OD=AD=2,所以PD=2OD=4,PA==4.
故四稜錐P-ABCD的體積為
V=×S×PA=×9×4=12.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題
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