如圖所示，在四稜錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD, AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1...

問題詳情：

如圖所示，在四稜錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,  AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點E為稜PC的中點．用空間向量進行以下*和計算：

(1)*：BE⊥DC；

(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；

(3)若F為稜PC上一點，滿足BF⊥AC，

求二面角F-AB-P的正弦值．

【回答】

解：依題意，以點A為原點建立空間直角座標系(如圖所示)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．C由E為稜PC的中點，得E(1，1，1)．

(1)*：向量BE＝(0，1，1)，DC＝(2，0，0)，故BE·DC＝0，

所以BE⊥DC.

(2)向量BD＝(－1，2，0)，PB＝(1，0，－2)．設n＝(x，y，z)為平面PBD的法向量，則即不妨令y＝1，可得n＝(2，1，1)為平面PBD的一個法向量．於是有

cos〈n，BE〉＝＝＝，

所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為.

(3) 向量BC＝(1，2，0)，CP＝(－2，－2，2)，AC＝(2，2，0)，AB＝(1，0，0)．由點F在稜PC上，設CF＝λ，0≤λ≤1.

故BF＝BC＋CF＝BC＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF⊥AC，得BF·AC＝0，因此2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝，即BF＝.設n1＝(x，y，z)為平面FAB的法向量，則即不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3，1)為平面FAB的一個法向量．取平面ABP的法向量n2＝(0，1，0)，則cos〈n1，n2〉＝＝＝－〈n1，n2〉＝.所以，二面角F-AB-P的正弦值為.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題