已知函式f(x)＝ lnx－x＋ ，其中a>0.（1）若f(x)在(0，＋∞)上存在極值點，求a的取值範...

問題詳情：

已知函式f(x)＝  lnx－x＋  ，其中a>0. （1）若f(x)在(0，＋∞)上存在極值點，求a的取值範圍； （2）設a∈(1，e]，當x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)時，記f(x2)－f(x1)的最大值為M(a)．那麼M(a)是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，請說明理由．

【回答】

（1）解： f′(x)＝   －1－  ＝  ，x∈(0，＋∞)． ①當a＝1時，f′(x)＝－  ≤0，f(x)在(0，＋∞)上單調遞減，不存在極值點； ②當a>0且a≠1時，f′(a)＝f′  ＝0.經檢驗a，  均為f(x)的極值點． ∴a∈(0,1)∪(1，＋∞)． （2）解：當a∈(1， e]時，0<  <1<a.由(1)知，當f′(x)>0時，  <x<a；當f′(x)<0時，x>a或x<  . ∴f(x)在  上單調遞減，在  上單調遞增，在(a，＋∞)上單調遞減． ∴對∀x1∈(0,1)，有f(x1)≥f  ；對∀x2∈(1，＋∞)，有f(x2)≤f(a)．∴[f(x2)－f(x1)]max＝f(a)－f  . ∴M(a)＝f(a)－f  ＝  － ＝2  ，a∈(1，e]． M′(a)＝2  lna＋2   ＋2  ＝2  lna，a∈(1，e]．∴M′(a)>0，即M(a)在(1，e]上單調遞增． ∴M(a)max＝M(e)＝2  ＋2  ＝  .∴M(a)存在最大值  .

知識點：大學聯考試題

題型：解答題