如圖,在平面直角座標系中,以座標原點O為圓心,2為半徑畫圓,P是⊙O上一動點且在第一象限內,過點P作⊙O的切線...
問題詳情:
如圖,在平面直角座標系中,以座標原點O為圓心,2為半徑畫圓,P是⊙O上一動點且在第一象限內,過點P作⊙O的切線,與x、y軸分別交於點A、B.
(1)求*:△OBP與△OPA相似;
(2)當點P為AB中點時,求出P點座標;
(3)在⊙O上是否存在一點Q,使得以Q,O,A、P為頂點的四邊形是平行四邊形.若存在,試求出Q點座標;若不存在,請說明理由.
【回答】
【解答】解:(1)*:
∵AB是過點P的切線,
∴AB⊥OP,∴∠OPB=∠OPA=90°;(1分)
∴在Rt△OPB中,∠1+∠3=90°,
又∵∠BOA=90°∴∠1+∠2=90°,
∴∠2=∠3;(1分)
在△OPB中△APO中,
∴△OPB∽△APO.(2分)
(2)∵OP⊥AB,且PA=PB,
∴OA=OB,
∴△AOB是等腰三角形,
∴OP是∠AOB的平分線,
∴點P到x、y軸的距離相等;(1分)
又∵點P在第一象限,
∴設點P(x,x)(x>0),
∵圓的半徑為2,
∴OP=,解得x=或x=﹣(捨去),(2分)
∴P點座標是(,).(1分)
(3)存在;
①如圖設OAPQ為平行四邊形,∴PQ∥OA,OQ∥PA;
∵AB⊥OP,∴OQ⊥OP,PQ⊥OB,
∴∠POQ=90°,[來源:學|科|網Z|X|X|K]
∵OP=OQ,
∴△POQ是等腰直角三角形,
∴OB是∠POQ的平分線且是邊PQ上的中垂線,
∴∠BOQ=∠BOP=45°,
∴∠AOP=45°,
設P(x,x)、Q(﹣x,x)(x>0),(2分)
∵OP=2代入得,解得x=,
∴Q點座標是(﹣,);(1分)
②如圖示OPAQ為平行四邊形,
同理可得Q點座標是(,﹣).(1分)
知識點:相似三角形
題型:解答題
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