如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC...

问题详情：

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC=2∠CBF． （1）求*：BF是⊙O的切线； （2）若⊙O的直径为3，sin∠CBF=，求BC和BF的长．

【回答】

（1）*：连接AE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∴∠1+∠2=90°． ∵AB=AC， ∴2∠1=∠CAB． ∵∠BAC=2∠CBF， ∴∠1=∠CBF ∴∠CBF+∠2=90° 即∠ABF=90° ∵AB是⊙O的直径， ∴直线BF是⊙O的切线； （2）解：过点C作CH⊥BF于H． ∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF， ∴sin∠1=， ∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=3， ∴BE=AB•sin∠1=3×=， ∵AB=AC，∠AEB=90°， ∴BC=2BE=2， ∵sin∠CBF==， ∴CH=2， ∵CH∥AB， ∴=，即=， ∴CF=6， ∴AF=AC+CF=9， ∴BF==6． 【解析】

（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而*∠ABF=90°． （2）解直角三角形即可得到结论． 本题考查了圆的综合题：切线的判定与*质、勾股定理、直角所对的圆周角是直角、解直角三角形等知识点．

知识点：各地中考

题型：解答题