如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N,点P在AB的延长线上,且...
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如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N,点P在AB的延长线上,且∠CAB=2∠BCP.
(1)求*:直线CP是⊙O的切线;
(2)若BC=2,sin∠BCP=,求点B到AC的距离;
(3)在第(2)的条件下,求△ACP的周长.
【回答】
(1)*见解析;(2)4;(3)20.
【分析】
(1)利用直径所对的圆周角为直角,2∠CAN=∠CAB,∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可;
(2)利用锐角三角函数,即勾股定理即可;
(3)在直角△BCF中,利用勾股定理可以求得CF=2,所以利用平行线分线段成比例分别求得线段PC、PB的长度.则△ACP的周长迎刃可解了.
【详解】
解:(1)∵∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC,
∵AC为⊙O的直径,
∴∠ANC=90°,
∴∠CAN+∠ACN=90°,2∠BAN=2∠CAN=∠CAB,
∵∠CAB=2∠BCP,
∴∠BCP=∠CAN,
∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°,
∵点D在⊙O上,
∴直线CP是⊙O的切线;
(2)如图,作BF⊥AC
∵AB=AC,∠ANC=90°,
∴CN=CB=,
∵∠BCP=∠CAN,sin∠BCP=,
∴sin∠CAN=,
∴
∴AC=5,
∴AB=AC=5,
设AF=x,则CF=5﹣x,
在Rt△ABF中,BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2,
在Rt△CBF中,BF2=BC2﹣CF2=2O﹣(5﹣x)2,
∴25﹣x2=2O﹣(5﹣x)2,
∴x=3,
∴BF2=25﹣32=16,
∴BF=4,
即点B到AC的距离为4.
(3)在Rt△BCF中,CF=
∴AF=AC-CF=5-2=3, ∵BF∥CP, ∴,, ∴CP=,BP= ∴△APC的周长是AC+PC+AP=20.
【点睛】
此题是圆的综合题,主要考查了切线的判定和*质,相似三角形的判定和*质,勾股定理,相似三角形的判定和*质,构造出直角三角形Rt△ABF和Rt△CBF是解本题的关键.
知识点:圆的有关*质
题型:解答题
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