如圖,已知拋物線y=ax2﹣x+c與x軸相交於A、B兩點,並與直線y=x﹣2交於B、C兩點,其中點C是直線y=...
問題詳情:
如圖,已知拋物線y=ax2﹣x+c與x軸相交於A、B兩點,並與直線y=x﹣2交於B、C兩點,其中點C是直線y=x﹣2與y軸的交點,連線AC.
(1)求拋物線的解析式;
(2)*:△ABC為直角三角形;
(3)△ABC內部能否截出面積最大的矩形DEFG?(頂點D、E、F、G在△ABC各邊上)若能,求出最大面積;若不能,請說明理由.
【回答】
【解答】(1)解:∵直線y=x﹣2交x軸、y軸於B、C兩點,
∴B(4,0),C(0,﹣2),
∵y=ax2﹣x+c過B、C兩點,
∴,
解得,
∴y=x2﹣x﹣2.
(2)*:如圖1,連線AC,
∵y=x2﹣x﹣2與x負半軸交於A點,
∴A(﹣1,0),
在Rt△AOC中,
∵AO=1,OC=2,
∴AC=,
在Rt△BOC中,
∵BO=4,OC=2,
∴BC=2,
∵AB=AO+BO=1+4=5,
∴AB2=AC2+BC2,
∴△ABC為直角三角形.
(3)解:△ABC內部可截出面積最大的矩形DEFG,面積為,理由如下:
①一點為C,AB、AC、BC邊上各有一點,如圖2,此時△AGF∽△ACB∽△FEB.
設GC=x,AG=﹣x,
∵,
∴,
∴GF=2﹣2x,
∴S=GC•GF=x•(2)=﹣2x2+2x=﹣2[(x﹣)2﹣]=﹣2(x﹣)2+,
即當x=時,S最大,為.
②AB邊上有兩點,AC、BC邊上各有一點,如圖3,此時△CDE∽△CAB∽△GAD,
設GD=x,
∵,
∴,
∴AD=x,
∴CD=CA﹣AD=﹣x,
∵,
∴,
∴DE=5﹣x,
∴S=GD•DE=x•(5﹣x)=﹣x2+5x=﹣ [(x﹣1)2﹣1]=﹣(x﹣1)2+,
即x=1時,S最大,為.
綜上所述,△ABC內部可截出面積最大的矩形DEFG,面積為.
知識點:二次函式與一元二次方程
題型:綜合題
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