如圖，拋物線y=ax2+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b為常數）與x軸交於A、C兩點，與y軸交於B點，直線AB的函...

問題詳情：

如圖，拋物線y=ax2+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b為常數）與x軸交於A、C兩點，與y軸交於B點，直線AB的函式關係式為y=x+．

（1）求該拋物線的函式關係式與C點座標；

（2）已知點M（m，0）是線段OA上的一個動點，過點M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交於D、E兩點，當m為何值時，△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形？

（3）在（2）問條件下，當△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形時，動點M相應位置記為點M′，將OM′繞原點O順時針旋轉得到ON（旋轉角在0°到90°之間）；

i：探究：線段OB上是否存在定點P（P不與O、B重合），無論ON如何旋轉，始終保持不變，若存在，試求出P點座標；若不存在，請說明理由；

ii：試求出此旋轉過程中，（NA+NB）的最小值．

【回答】

【考點】HF：二次函式綜合題．

【分析】（1）根據已知條件得到B（0，），A（﹣6，0），解方程組得到拋物線的函式關係式為：y=﹣x2﹣x+，於是得到C（1，0）；

（2）由點M（m，0），過點M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交於D、E兩點，得到D（m， m+），當DE為底時，作BG⊥DE於G，根據等腰三角形的*質得到EG=GD=ED，GM=OB=，列方程即可得到結論；

（3）i：根據已知條件得到ON=OM′=4，OB=，由∠NOP=∠BON，特殊的當△NOP∽△BON時，根據相似三角形的*質得到=，於是得到結論；

ii：根據題意得到N在以O為圓心，4為半徑的半圓上，由（i）知， =，得到NP=NB，於是得到（NA+NB）的最小值=NA+NP，此時N，A，P三點共線，根據勾股定理得到結論．

【解答】解：（1）在y=x+中，令x=0，則y=，令y=0，則x=﹣6，

∴B（0，），A（﹣6，0），

把B（0，），A（﹣6，0）代入y=ax2+bx﹣a﹣b得，

∴，

∴拋物線的函式關係式為：y=﹣x2﹣x+，

令y=0，則=﹣x2﹣x+=0，

∴x1=﹣6，x2=1，

∴C（1，0）；

（2）∵點M（m，0），過點M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交於D、E兩點，

∴D（m， m+），當DE為底時，

作BG⊥DE於G，則EG=GD=ED，GM=OB=，

∴m+（﹣m2﹣m++m+）=，

解得：m1=﹣4，m2=9（不合題意，捨去），

∴當m=﹣4時，△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形；

（3）i：存在，

∵ON=OM′=4，OB=，

∵∠NOP=∠BON，

∴當△NOP∽△BON時， =，

∴不變，

即OP==3，

∴P（0，3）

ii：∵N在以O為圓心，4為半徑的半圓上，由（i）知， =，

∴NP=NB，

∴（NA+NB）的最小值=NA+NP，

∴此時N，A，P三點共線，

∴（NA+NB）的最小值==3．

知識點：各地會考

題型：綜合題