如圖1,拋物線y=﹣x2+bx+c經過A(﹣1,0),B(4,0)兩點,與y軸相交於點C,連線BC,點P為拋物...
問題詳情:
如圖1,拋物線y=﹣x2+bx+c經過A(﹣1,0),B(4,0)兩點,與y軸相交於點C,連線BC,點P為拋物線上一動點,過點P作x軸的垂線l,交直線BC於點G,交x軸於點E.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當P位於y軸右邊的拋物線上運動時,過點C作CF⊥直線l,F為垂足,當點P運動到何處時,以P,C,F為頂點的三角形與△OBC相似?並求出此時點P的座標;
(3)如圖2,當點P在位於直線BC上方的拋物線上運動時,連線PC,PB,△PBC的面積S能否取得最大值?若能,請求出最大面積S,並求出此時點P的座標;若不能,請說明理由.
【回答】
【解答】解:(1)由題意得,解得,
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4.
(2)如圖1所示:
由題意可知:C點座標為(0,4),
∴△BOC為等腰直角三角形,且∠BOC為直角.
∵以P,C,F為頂點的三角形與△OBC相似
∴△PCF為等腰直角三角形,又CF⊥直線l,∴PF=CF.
設P(t,﹣t2+3t+4)(t>0),則CF=t,
PF=|(﹣t2+3t+4)﹣4|=|t2﹣3t|.
∴t=|t2﹣3t|,∴t2﹣3t=±t,解得t=0(捨去),t=2或t=0(捨去),t=4.
∴點P的座標為 (2,6)或(4,0).
(3)如圖2所示:連線EC.
設點P的座標為(a,﹣a2+3a+4).則OE=a,PE=﹣a2+3a+4,EB=4﹣a.
∵C(0,4),B(4,0),
∴直線BC的解析式為y=﹣x+4.
∵S四邊形PCEB=OB•PE=×4(﹣a2+3a+4),S△CEB=EB•OC=×4×(4﹣a),
∴S△PBC=S四邊形PCEB﹣S△CEB=2(﹣a2+3a+4)﹣2(4﹣a)=﹣2a2+8a.
∵a=﹣2<0,
∴當a=2時,△PBC的面積S有最大值.
∴P(2,6),△PBC的面積的最大值為8.
知識點:二次函式與一元二次方程
題型:綜合題
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