拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交於A(﹣3,0),B(1,0)兩點,與y軸交於點C.(1)求該拋物線的解析式...
問題詳情:
拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交於A(﹣3,0),B(1,0)兩點,與y軸交於點C.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)在拋物線上求一點P,使S△PAB=S△ABC,寫出P點的座標;
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使得△QBC的周長最小?若存在,求出點Q的座標,若不存在,請說明理由.
【回答】
(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)所求P點的座標為(﹣2,3)或(﹣1+,﹣3)或(﹣1﹣,﹣3);(3)點Q的座標是(﹣1,2).
【分析】
(1)將A(-3,0),B(1,0)兩點代入y=-x2+bx+c,利用待定係數法求解即可求得*;
(2)首先求得點C的座標為(0,3),然後根據同底等高的兩個三角形面積相等,可得P點的縱座標為±3,將y=±3分別代入拋物線的解析式,求出x的值,即可求得P點的座標;
(3)根據兩點之間線段最短可得Q點是AC與對稱軸的交點.利用待定係數法求出直線AC的解析式,將拋物線的對稱軸方程x=-1代入求出y的值,即可得到點Q的座標.
【詳解】
(1)∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交於A(﹣3,0),B(1,0)兩點,
∴,解得,
∴拋物線的解析式為:y=﹣x2﹣2x+3;
(2)∵y=﹣x2﹣2x+3,
∴x=0時,y=3,
∴點C的座標為(0,3).
設在拋物線上存在一點P(x,y),使S△PAB=S△ABC,
則|y|=3,即y=±3.
如果y=3,那麼﹣x2﹣2x+3=3,解得x=0或﹣2,
x=0時與C點重合,捨去,所以點P(﹣2,3);
如果y=﹣3,那麼﹣x2﹣2x+3=﹣3,解得x=﹣1±,
所以點P(﹣1±,﹣3);
綜上所述,所求P點的座標為(﹣2,3)或(﹣1+,﹣3)或(﹣1﹣,﹣3);
(3)連結AC與拋物線的對稱軸交於點Q,此時△QBC的周長最小.
設直線AC的解析式為:y=mx+n,
∵A(﹣3,0),C(0,3),
∴,解得:,
∴直線AC的解析式為:y=x+3.
∵y=﹣x2﹣2x+3的對稱軸是直線x=﹣1,
∴當x=﹣1時,y=﹣1+3=2,
∴點Q的座標是(﹣1,2).
【點睛】
此題考查了拋物線與x軸的交點,待定係數法求函式的解析式,二次函式的*質,三角形的面積以及軸對稱-最短路線問題.正確求出函式的解析式是解此題的關鍵.
知識點:二次函式單元測試
題型:解答題
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