如圖1,拋物線y=ax2+bx+3交x軸於點A(﹣1,0)和點B(3,0).(1)求該拋物線所對應的函式解析式...
問題詳情:
如圖1,拋物線y=ax2+bx+3交x軸於點A(﹣1,0)和點B(3,0).
(1)求該拋物線所對應的函式解析式;
(2)如圖2,該拋物線與y軸交於點C,頂點為F,點D(2,3)在該拋物線上.
①求四邊形ACFD的面積;
②點P是線段AB上的動點(點P不與點A、B重合),過點P作PQ⊥x軸交該拋物線於點Q,連線AQ、DQ,當△AQD是直角三角形時,求出所有滿足條件的點Q的座標.
【回答】
解:
(1)由題意可得,解得,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3;
(2)①∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴F(1,4),
∵C(0,3),D(2,3),
∴CD=2,且CD∥x軸,
∵A(﹣1,0),
∴S四邊形ACFD=S△ACD+S△FCD=×2×3+×2×(4﹣3)=4;
②∵點P線上段AB上,
∴∠DAQ不可能為直角,
∴當△AQD為直角三角形時,有∠ADQ=90°或∠AQD=90°,
i.當∠ADQ=90°時,則DQ⊥AD,
∵A(﹣1,0),D(2,3),
∴直線AD解析式為y=x+1,
∴可設直線DQ解析式為y=﹣x+b′,
把D(2,3)代入可求得b′=5,
∴直線DQ解析式為y=﹣x+5,
聯立直線DQ和拋物線解析式可得,解得或,
∴Q(1,4);
ii.當∠AQD=90°時,設Q(t,﹣t2+2t+3),
設直線AQ的解析式為y=k1x+b1,
把A、Q座標代入可得,解得k1=﹣(t﹣3),
設直線DQ解析式為y=k2x+b2,同理可求得k2=﹣t,
∵AQ⊥DQ,
∴k1k2=﹣1,即t(t﹣3)=﹣1,解得t=,
當t=時,﹣t2+2t+3=,[來源:學.科.網]
當t=時,﹣t2+2t+3=,
∴Q點座標為(,)或(,);
綜上可知Q點座標為(1,4)或(,)或(,).
知識點:二次函式與一元二次方程
題型:綜合題
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