在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足ab+a2=c2.(1)求*:C=2A;(2)若△...

問題詳情：

 在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足ab+a2=c2.

(1)求*:C=2A;

(2)若△ABC的面積為a2sin2B,求角C的大小.

【回答】

解(1)在△ABC中,根據餘弦定理,c2=a2+b2-2abcosC,

又因為ab+a2=c2,所以ab=b2-2abcosC.

因為b>0,所以b-a=2acosC.

根據正弦定理,sinB-sinA=2sinAcosC.

因為A+B+C=π,即A+C=π-B,

則sinB=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinA=sinCcosA-sinAcosC.

即sinA=sin(C-A).

因為A,C∈(0,π),則C-A∈(-π,π),

所以C-A=A,或C-A=π-A(捨去後者).

所以C=2A.

(2)因為△ABC的面積為a2sin2B,所以a2sin2B=acsinB,

因為a>0,sinB>0,所以c=2asinB,

則sinC=2sinAsinB.

因為C=2A,所以2sinAcosA=2sinAsinB,

所以sinB=cosA.

因為A∈0,,

所以cosA=sin-A,

即sinB=sin-A,

所以B=-A或B=+A.

當B=-A,即A+B=時,C=;

當B=+A時,由π-3A=+A,解得A=,則C=

綜上,C=或C=

知識點：解三角形

題型：解答題