如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交於點A(﹣1,0),點B(﹣3,0),且OB=OC.(1)求拋物線的解...
問題詳情:
如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交於點A(﹣1,0),點B(﹣3,0),且OB=OC.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P在拋物線上,且∠POB=∠ACB,求點P的座標;
(3)拋物線上兩點M,N,點M的橫座標為m,點N的橫座標為m+4.點D是拋物線上M,N之間的動點,過點D作y軸的平行線交MN於點E.
①求DE的最大值;
②點D關於點E的對稱點為F,當m為何值時,四邊形MDNF為矩形.
【回答】
解:(1)∵拋物線與x軸交於點A(﹣1,0),點B(﹣3,0)
∴設交點式y=a(x+1)(x+3)
∵OC=OB=3,點C在y軸負半軸
∴C(0,﹣3)
把點C代入拋物線解析式得:3a=﹣3
∴a=﹣1
∴拋物線解析式為y=﹣(x+1)(x+3)=﹣x2﹣4x﹣3
(2)如圖1,過點A作AG⊥BC於點G,過點P作PH⊥x軸於點H
∴∠AGB=∠AGC=∠PHO=90°
∵∠ACB=∠POB
∴△ACG∽△POH
∴
∴
∵OB=OC=3,∠BOC=90°
∴∠ABC=45°,BC==3
∴△ABG是等腰直角三角形
∴AG=BG=AB=
∴CG=BC﹣BG=3﹣=2
∴
∴OH=2PH
設P(p,﹣p2﹣4p﹣3)
①當p<﹣3或﹣1<p<0時,點P在點B左側或在AC之間,橫縱座標均為負數
∴OH=﹣p,PH=﹣(﹣p2﹣4p﹣3)=p2+4p+3
∴﹣p=2(p2+4p+3)
解得:p1=,p2=
∴P(,)或(,)
②當﹣3<p<﹣1或p>0時,點P在AB之間或在點C右側,橫縱座標異號
∴p=2(p2+4p+3)
解得:p1=﹣2,p2=﹣
∴P(﹣2,1)或(﹣,)
綜上所述,點P的座標為(,)、(,)、(﹣2,1)或(﹣,).
(3)①如圖2,∵x=m+4時,y=﹣(m+4)2﹣4(m+4)﹣3=﹣m2﹣12m﹣35
∴M(m,﹣m2﹣4m﹣3),N(m+4,﹣m2﹣12m﹣35)
設直線MN解析式為y=kx+n
∴ 解得:
∴直線MN:y=(﹣2m﹣8)x+m2+4m﹣3
設D(d,﹣d2﹣4d﹣3)(m<d<m+4)
∵DE∥y軸
∴xE=xD=d,E(d,(﹣2m﹣8)d+m2+4m﹣3)
∴DE=﹣d2﹣4d﹣3﹣[(﹣2m﹣8)d+m2+4m﹣3]=﹣d2+(2m+4)d﹣m2﹣4m=﹣[d﹣(m+2)]2+4
∴當d=m+2時,DE的最大值為4.
②如圖3,∵D、F關於點E對稱
∴DE=EF
∵四邊形MDNF是矩形
∴MN=DF,且MN與DF互相平分
∴DE=MN,E為MN中點
∴xD=xE==m+2
由①得當d=m+2時,DE=4
∴MN=2DE=8
∴(m+4﹣m)2+[﹣m2﹣12m﹣35﹣(﹣m2﹣4m﹣3)]2=82
解得:m1=﹣4﹣,m2=﹣4+
∴m的值為﹣4﹣或﹣4+時,四邊形MDNF為矩形.
知識點:各地會考
題型:綜合題
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