已知拋物線y=a(x﹣2)2+c經過點A(2,0)和C(0,),與x軸交於另一點B,頂點為D.(1)求拋物線的...
問題詳情:
已知拋物線y=a(x﹣2)2+c經過點A(2,0)和C(0,),與x軸交於另一點B,頂點為D.
(1)求拋物線的解析式,並寫出D點的座標;
(2)如圖,點E,F分別線上段AB,BD上(E點不與A,B重合),且∠DEF=∠A,則△DEF能否為等腰三角形?若能,求出BE的長;若不能,請說明理由;
(3)若點P在拋物線上,且=m,試確定滿足條件的點P的個數.
【回答】
【解答】解:(1)由題意:,
解得,
∴拋物線的解析式為y=﹣(x﹣2)2+3,
∴頂點D座標(2,3).
(2)可能.如圖1,
∵A(﹣2,0),D(2,3),B(6,0),
∴AB=8,AD=BD=5,
①當DE=DF時,∠DFE=∠DEF=∠ABD,
∴EF∥AB,此時E與B重合,與條件矛盾,不成立.
②當DE=EF時,
又∵△BEF∽△AED,
∴△BEF≌△AED,
∴BE=AD=5
③當DF=EF時,∠EDF=∠DEF=∠DAB=∠DBA,
△FDE∽△DAB,
∴=,
∴==,
∵△AEF∽△BCE
∴==,
∴EB=AD=,
答:當BE的長為5或時,△CFE為等腰三角形.
(3)如圖2中,連線BD,當點P線上段BD的右側時,作DH⊥AB於H,連線PD,PH,PB.設P[n,﹣(n﹣2)2+3],
則S△PBD=S△PBH+S△PDH﹣S△BDH=×4×[﹣(n﹣2)2+3]+×3×(n﹣2)﹣×4×3=﹣(n﹣4)2+,
∵﹣<0,
∴n=4時,△PBD的面積的最大值為,
∵=m,
∴當點P在BD的右側時,m的最大值==,
觀察圖象可知:當0<m<時,滿足條件的點P的個數有4個,
當m=時,滿足條件的點P的個數有3個,
當m>時,滿足條件的點P的個數有2個(此時點P在BD的左側).
知識點:各地會考
題型:綜合題
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