設二次函式f(x)滿足f(x-2)=f(-x-2),且圖象與y軸交點的縱座標為1,被x軸截得的線段長為2,求f...

問題詳情：

設二次函式f(x)滿足f(x-2)=f(-x-2),且圖象與y軸交點的縱座標為1,被x軸截得的線段長為2,求f(x)的解析式.

【回答】

解:法一　設f(x)=ax2+bx+c(a≠0).

由f(x-2)=f(-x-2)得4a-b=0;           ①

又因為|x1-x2|==2,

所以b2-4ac=8a2;                     ②

又由已知得c=1.                     ③

由①②③解得b=2,a=,c=1,

所以f(x)=x2+2x+1.

法二　因為f(x-2)=f(-x-2),

故y=f(x)的圖象有對稱軸x=-2,可設y=a(x+2)2+k,

當x=0時,y=4a+k=1.

y=0時,a(x+2)2+k=0,即ax2+4ax+4a+k=0.

得ax2+4ax+1=0,x1+x2=-4,x1·x2=,

|x1-x2|===2.

a=,k=-1.

所以f(x)=(x+2)2-1,即f(x)=x2+2x+1.

法三　因為y=f(x)的圖象有對稱軸x=-2,

又|x1-x2|=2,

所以y=f(x)的圖象與x軸的交點為(-2-,0),(-2+,0).故可設f(x)=a(x+2+)(x+2-).

因為f(0)=1,所以a=.

所以f(x)=[(x+2)2-2]=x2+2x+1.

知識點：*與函式的概念

題型：解答題