在平面直角座標系中，O為座標原點，過二次函式y＝﹣x2+4x圖象上的點A（3，3）作x軸的垂線交x軸於點B．（...

問題詳情：

在平面直角座標系中，O為座標原點，過二次函式y＝﹣x2+4x圖象上的點A（3，3）作x軸的垂線交x軸於點B．

（1）如圖1，P為線段OA上方拋物線上的一點，在x軸上取點C（1，0），點M、N為y軸上的兩個動點，點M在點N的上方且MN＝1．連線AC，當四邊形PACO的面積最大時，求PM+MNNO的最小值．

（2）如圖2，點Q（3，1）線上段AB上，作*線CQ，將△AQC沿直線AB翻折，C點的對應點為C'，將△AQC'沿*線CQ平移3個單位得△A'Q'C″，在*線CQ上取一點M，使得以A'、M、C″為頂點的三角形是等腰三角形，求M點的座標．

【回答】

【解析】（1）如圖1，過點O作直線l，使直線l經過第二、四象限且與x軸夾角為60°；

過點P作PF⊥x軸於點E，交OA於點D，交直線l於點F；在PF上擷取PP'＝1；過點N作NG⊥直線l於點G

∵A（3，3），AB⊥x軸於點B，∴直線OA解析式為y＝x，OB＝AB＝3，

∵C（1，0），∴，是定值，

設P（t，﹣t2+4t）（0＜t＜3），

∴D（t，t），

∴PD＝﹣t2+4t﹣t＝﹣t2+3t，

∴

∴時，S△OAP最大，

此時，S四邊形PACO＝S△AOC+S△OAP最大，

，∴，

∴，即，

∵點M、N在y軸上且MN＝1，∴PP'＝MN，PP'∥MN，

∴四邊形MNP'P是平行四邊形，∴PM＝P'N，

∵∠NGO＝90°，∠NOG＝90°﹣60°＝30°，

∴Rt△ONG中，，∴，

∴當點P'、N、G在同一直線上，即P'G⊥直線l時，最小，

∵，∠EOF＝60°，∠OEF＝90°，

∴Rt△OEF中，∠OFE＝30°，，

∴，∴，

∴Rt△P'GF中，，

∴，

∴PM+MNNO的最小值為.

（2）延長A'Q'交x軸於點H，

∵C（1，0），Q（3，1），QB⊥x軸於點B，

∴CB＝2，BQ＝1，∴CQ，

∵△AQC沿直線AB翻折得△AQC'，∴B（3，0）是CC'的中點，∴C'（5，0），

∵平移距離QQ'＝3，∴CQ'＝CQ+QQ'＝4，

∵QB∥Q'H，∴△CBQ∽△CHQ'，

∴，∴CH＝4CB＝8，yQ'＝HQ'＝4BQ＝4，

∴xQ'＝OC+CH＝1+8＝9，∴Q'（9，4），

∴點Q（3，1）向右平移6個單位，向上平移3個單位得到點Q'（9，4）

∴A'（9，6），C''（11，3），

∴A'C''，

設直線CQ解析式為y＝kx+b，

∴，解得：，∴直線CQ：，

設*線CQ上的點M（m，）（m＞1），

∴A'M2＝（9﹣m）2+（）2＝（9﹣m）2+（m）2，

C''M2＝（11﹣m）2+（）2＝（11﹣m）2+（m）2，

∵△A'MC''是等腰三角形，

①若A'M＝A'C''，則（9﹣m）2+（m）2＝13，解得：m1＝7，m2，

∴M（7，3）或（，），

②若C''M＝A'C''，則（11﹣m）2+（m）2＝13，解得：m1，m2＝13，

∴M（，）或（13，6），

③若A'M＝C''M，則（9﹣m）2+（m）2＝（11﹣m）2+（m）2，解得：m＝10，

∴M（10，），

綜上所述，點M座標為（7，3），（，），（，），（13，6），（10，）．

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：綜合題