已知數列各項為正數,且對任意,都有.(1)若,,成等差數列,求的值;(2)①求*:數列為等比數列;②若對任意,...
問題詳情:
已知數列各項為正數,且對任意,都有.
(1)若,,成等差數列,求的值;
(2)①求*:數列為等比數列;
②若對任意,都有,求數列的公比的取值範圍.
【回答】
【詳解】解:(1)因為,所以,因此,,成等比數列.
設公比為,因為,,成等差數列,
所以,即,於是,解得或,
所以或.
(2)①因為,所以,
兩式相除得,即,
由,得,
兩式相除得,即,
所以,即,,,
由(1)知,所以,,
因此數列為等比數列.
②當時,
由時,可得,所以,
因此,
所以滿足條件.
當時,
由,得,
整理得.
因為,,所以,
因此,即,
由於,因此,與任意恆成立相矛盾,
所以不滿足條件.
綜上,公比的取值範圍為.
【點睛】本題主要考查等差數列的*質和等比數列的*,考查數列的求和數列不等式的恆成立問題,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.
知識點:數列
題型:解答題
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