已知數列是首項為,公比的等比數列,設,數列滿足.(1)求*:數列是等差數列;(2)求數列的前項和;(3)若對一...
問題詳情:
已知數列是首項為,公比的等比數列,設,數列滿足.
(1)求*:數列是等差數列;
(2)求數列的前項和;
(3)若對一切正整數恆成立,求實數的取值範圍.
【回答】
解:(1)*:由題意知,an=n(n∈N+),
∵bn=3logan-2,b1=3loga1-2=1,
∴bn+1-bn=3logan+1-3logan=3log=3logq=3,
∴數列{bn}是首項b1=1,公差d=3的等差數列. 4分
(2)由(1)知,an=n,bn=3n-2(n∈N+),
∴cn=(3n-2)×n(n∈N+),
∴Sn=1×+4×2+7×3+…+(3n-5)×n-1+(3n-2)×n;
於是Sn=1×2+4×3+7×4+…+(3n-5)×n+(3n-2)×n+1,
6分
兩式相減得
Sn=+3-(3n-2)×n+1=-(3n+2)×n+1.
∴Sn=-×n+1(n∈N+). 8分
(3)∵cn+1-cn=(3n+1)·n+1-(3n-2)·n=9(1-n)·n+1(n∈N+),
∴當n=1時,c2=c1=,
當n≥2時,cn+1<cn,即c1=c2>c3>c4>…>cn,
∴當n=1或2時,cn取得最大值是. 10分
又cn≤m2+m-1對一切正整數n恆成立,
∴m2+m-1≥,
即m2+4m-5≥0,解得m≥1或m≤-5.
故實數m的取值範圍為{m|m≥1或m≤-5}. 12分
知識點:數列
題型:解答題
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