在正方形ABCD中，BD是一條對角線，點E在直線CD上（與點C，D不重合），連線AE，平移△ADE，使點D移動...

問題詳情：

在正方形ABCD中，BD是一條對角線，點E在直線CD上（與點C，D不重合），連線AE，平移△ADE，使點D移動到點C，得到△BCF，過點F作FG⊥BD於點G，連線AG，EG．

（1）問題猜想：如圖1，若點E線上段CD上，試猜想AG與EG的數量關係是　　，位置關係是　　；

（2）類比探究：如圖2，若點E線上段CD的延長線上，其餘條件不變，小明猜想（1）中的結論仍然成立，請你給出*；

（3）解決問題：若點E線上段DC的延長線上，且∠AGF=120°，正方形ABCD的邊長為2，請在備用圖中畫出圖形，並直接寫出DE的長度．

【回答】

【解答】解：（1）如圖1，

由平移得，EF=AD，

∵BD是正方形的對角線，

∴∠ADB=∠CDB=45°，

∵CF⊥BD，

∴∠DGF=90°，

∴∠GFD+∠CBD=90°，

∴∠DFG=45°，

∴GD=GF，

在△AGD和△EGF中，

，

∴△AGD≌△EGF

∴AG=EG，∠AGD=∠EGF，

∴∠AGE=∠AGD+∠DGE=∠EGF+DGE=90°，

∴AG⊥EG．

故*為AG=EG，AG⊥EG．

（2）（1）中的結論仍然成立，

*：如圖2

由平移得，EF=AD，

∵BD是正方形的對角線，

∴∠ADB=∠CDB=45°，

∵CF⊥BD，

∴∠DGF=90°，

∴∠GFD+∠CBD=90°，

∴∠DFG=45°，

∴GD=GF，

在△AGD和△EGF中，

，

∴△AGD≌△EGF

∴AG=EG，∠AGD=∠EGF，

∴∠AGE=∠AGD+∠DGE=∠EGF+DGE=90°，

∴AG⊥EG．

（3）由（1）有，AG=CG，AG⊥EG，

∴∠GEA=45°，

∵∠AGF=120°，

∴∠AGB=∠CGB，=30°，

∴∠FGE=∠CGB=∠CGE=30°，

∴∠CEG=75°，

∴∠AED=30°，

在Rt△ADE中，AD=2，

∴DE=2．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：綜合題