函式f（x）＝alnx2x（a∈R）．（1）當a＝3時，求f（x）的極值；（2）當a＝1時，*：f（x）2x...

問題詳情：

函式f（x）＝alnx2x（a∈R）．

（1）當a＝3時，求f（x）的極值；

（2）當a＝1時，*：f（x）2x．

【回答】

（1）當a＝3時，，則，

當時，f′（x）＜0，f（x）在上單調遞減；

當時，f′（x）＞0，f（x）在上單調遞增；

當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上單調遞減．

∴，f（x）極大值＝f（1）＝﹣1；

（2）*：當a＝1時，，

∴不等式f（x）2x可變形為，

要*上述不等式成立，即*，

設，則g′（x）＝lnx+1，令g′（x）＝0，得，

在上，g′（x）＜0，g（x）是減函式，在上，g（x）是增函式，

∴；

又，令h′（x）＝0，得x＝1，

在（0，1）上，h′（x）＞0，h（x）是增函式，在（1，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）是減函式，

∴，

∴h（x）＜g（x），即，所以，

由此可得f（x）2x．

知識點：基本初等函式I

題型：解答題