某農場有一塊農田，如圖所示，它的邊界由圓的一段圓弧（為此圓弧的中點）和線段構成．已知圓的半徑為40米，點到的距...

問題詳情：

某農場有一塊農田，如圖所示，它的邊界由圓的一段圓弧（為此圓弧的中點）和線段構成．已知圓的半徑為40米，點到的距離為50米．現規劃在此農田上修建兩個溫室大棚，大棚內的地塊形狀為矩形，大棚內的地塊形狀為，要求均線上段上，均在圓弧上．設與所成的角為．

（1）用分別表示矩形和的面積，並確定的取值範圍；

（2）若大棚內種植*種蔬菜，大棚內種植乙種蔬菜，且*、乙兩種蔬菜的單位面積年產值之比為．求當為何值時，能使*、乙兩種蔬菜的年總產值最大．

【回答】

（1），  ；（2）．

【解析】

分析：（1）先根據條件求矩形長與寬，三角形的底與高，再根據矩形面積公式以及三角形面積公式得結果，最後根據實際意義確定的取值範圍；（2）根據條件列函式關係式，利用導數求極值點，再根據單調*確定函式最值取法.

詳解：

解：（1）連結PO並延長交MN於H，則PH⊥MN，所以OH=10．

過O作OE⊥BC於E，則OE∥MN，所以∠COE=θ，

故OE=40cosθ，EC=40sinθ，

則矩形ABCD的面積為2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），

△CDP的面積為×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．

過N作GN⊥MN，分別交圓弧和OE的延長線於G和K，則GK=KN=10．

令∠GOK=θ0，則sinθ0=，θ0∈（0，）．

當θ∈時，才能作出滿足條件的矩形ABCD，

所以sinθ的取值範圍是．

答：矩形ABCD的面積為800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面積為

1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值範圍是．

（2）因為*、乙兩種蔬菜的單位面積年產值之比為4∶3，

設*的單位面積的年產值為4k，乙的單位面積的年產值為3k（k>0），

則年總產值為4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）

=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈．

設f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈，

則．

令，得θ=，

當θ∈（θ0，）時，，所以f（θ）為增函式；

當θ∈（，）時，，所以f（θ）為減函式，

因此，當θ=時，f（θ）取到最大值．

答：當θ=時，能使*、乙兩種蔬菜的年總產值最大．

點睛：解決實際應用題的步驟一般有兩步：一是將實際問題轉化為數學問題；二是利用數學內部的知識解決問題.

知識點：導數及其應用

題型：解答題