已知數列是公差為的等差數列．在的每相鄰兩項之間*入這兩項的算術平均數，得到新數列，這樣的*作叫做該數列的1次“...

問題詳情：

已知數列是公差為的等差數列．在的每相鄰兩項之間*入這兩項的算術

平均數，得到新數列，這樣的*作叫做該數列的1次“”擴充套件．連續次“”

擴充套件，得到新數列．例如：數列1，2，3第1次“”擴充套件後得到數列1，，

2，，3；第2次“”擴充套件後得到數列1，，，，2，，，，3．

（1）求*：為等差數列，並求其公差；

（2）已知等差數列共有項，且．若的所有項的和為，求使成立的的取值*．

【回答】

（1）*：① 當時，與的算術平均數為，

則為常數，

所以當時，數列為等差數列，且公差．    …… 2分

          ② 假設當時，數列為等差數列，且公差，

             則當時，

數列中相鄰兩項與的算術平均數為，

由，

知數列中任意相鄰兩項的差為常數，

所以當時，數列為等差數列，且公差．

由①②可知，為等差數列，且公差．            …… 5分

（2）解：（方法一）由已知可知，設數列的項數為，

則，且，

所以，

所以，即．

所以

．                                 …… 7分

則．

令，

則．

由可知，，，

所以，所以在上單調遞增．

又因為，

所以使成立的的*為．  …… 10分

（方法二）

同上可得，

令，

則

，

則單調遞增，以下同上．                               …… 10分

知識點：數列

題型：解答題