已知數列{an}的奇數項是公差為d1的等差數列，偶數項是公差為d2的等差數列，Sn是數列{an}的前n項和，a...

問題詳情：

已知數列{an}的奇數項是公差為d1的等差數列，偶數項是公差為d2的等差數列，Sn是數列{an}的前n項和，a1＝1，a2＝2.

(1) 若S5＝16，a4＝a5，求a10；

(2) 已知S15＝15a8，且對任意n∈N*，有an＜an＋1恆成立，求*：數列{an}是等差數列；

(3) 若d1＝3d2(d1≠0)，且存在正整數m，n(m≠n)，使得am＝an.求當d1最大時，數列{an}的通項公式．

【回答】

 (1) 解：由題意，得a1＝1，a2＝2，a3＝a1＋d1＝1＋d1，a4＝a2＋d2＝2＋d2，a5＝a3＋d1＝1＋2d1.(2分)

因為S5＝16，a4＝a5，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝7＋3d1＋d2＝16，2＋d2＝1＋2d1.所以d1＝2，d2＝3，(4分)

所以a10＝2＋4d2＝14.(5分)

(2) *：當n為偶數時，因為an＜an＋1恆成立，

即2＋d2＜1＋d1，(d2－d1)＋1－d2＜0恆成立，所以d2－d1≤0且d2＞1.(7分)

當n為奇數時，因為an＜an＋1恆成立，

即1＋d2，(1－n)(d1－d2)＋2＞0恆成立，所以d1－d2≤0，於是有d1＝d2.(9分)

因為S15＝15a8，所以8＋d1＋14＋d2＝30＋45d2，

所以d1＝d2＝2，an＝n，所以數列{an}是等差數列．(11分)

(3) 解：若d1＝3d2(d1≠0)，且存在正整數m，n(m≠n)，使得am＝an，

由題意得，在m，n中必然一個是奇數，一個是偶數，不妨設m為奇數，n為偶數．

因為am＝an，所以1＋d1＝2＋d2.(13分)

因為d1＝3d2，所以d1＝.

因為m為奇數，n為偶數，所以3m－n－1的最小正值為2，此時d1＝3，d2＝1.(15分)

所以數列{an}的通項公式為an＝

知識點：數列

題型：解答題