如圖所示，在長方體中，，點E是稜上的一個動點，若平面交稜於點，給出下列命題：. ①四稜錐的體積恆為定值；②存在...

問題詳情：

如圖所示，在長方體中，，點E是稜上的一個動點，若平面交稜於點，給出下列命題：. 

① 四稜錐的體積恆為定值；

②存在點，使得平面； 

③存在唯一的點，使得截面四邊形的周長取得最小值；

④存在無數個點，在稜上均有相應的點，使得平面，也存在無數個點，對稜上任意的點， 直線與平面均相交.

其中真命題的是____________．（填出所有正確*的序號）

【回答】

①②③④

【解析】

【分析】

根據線面平行的判定定理和麵面平行的*質定理，以及錐體的體積公式，即可求解.

【詳解】由題意，可知①中，四稜錐的體積為：

，則和都為定值，所以四稜錐的體積恆為定值；

②中，連線和，當時，利用三垂線定理可得,又由，所以，利用線面垂直的判定定理，即可得到平面，所以是正確的；

③中，根據稜柱的結構特質，可知四邊形為平行四邊形，設，

則，令，則，

所以四邊形的周長為

，

當時，周長有最小值，即當為的中點時，周長取得最小值，所以正確；

④中，在AD任取一點G，過點G作，可*得,利用線面平行的判定定理可得平面平面，所以平面，所以是正確的.

故正確的命題序號為①②③④.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：填空題