已知橢圓的離心率，且橢圓過點.（I）求橢圓的標準方程；（II）已知點為橢圓的下頂點，為橢圓上與不重合的兩點，若...

問題詳情：

已知橢圓的離心率，且橢圓過點.

（I）求橢圓的標準方程；

（II）已知點為橢圓的下頂點，為橢圓上與不重合的兩點，若直線與直線的斜率之和為，試判斷是否存在定點，使得直線恆過點，若存在，求出點的座標；若不存在，請說明理由．

【回答】

解析：（I）∵橢圓的離心率，∴，即，

∵點在橢圓上，∴，由解得，

∴橢圓的標準方程為．

（II）由（I）知，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

代入得，，∴，即．設，則，

∵直線與直線的斜率之和為，

∴  ，整理得，

∴直線的方程為，顯然直線經過定點．

當直線的斜率不存在時，設直線的方程為，

∵直線與直線的斜率之和為，設，則，

∴，解得 

此時直線的方程為，顯然直線經過定點．

綜上，存在定點，使得直線恆過點．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題