已知橢圓的左、右焦點分別為、,圓經過橢圓的兩個焦點和兩個頂點,點在橢圓上,且,.(Ⅰ)求橢圓的方程和點的座標;...
問題詳情:
已知橢圓的左、右焦點分別為、,圓經過橢圓的兩個焦點和兩個頂點,點在橢圓上,且,.
(Ⅰ)求橢圓的方程和點的座標;
(Ⅱ)過點的直線與圓相交於、兩點,過點與垂直的直線與橢圓相交於另一點,求的面積的取值範圍.
【回答】
【解析】
分析:(I)由題意計算可得, , 則橢圓的方程為, 結合幾何*質可得點P的座標為.
(II)由題意可知直線l2的斜率存在,設l2的方程為,與橢圓方程聯立可得, 由弦長公式可得; 結合幾何關係和勾股定理可得, 則面積函式, 換元求解函式的值域可得△ABC的面積的取值範圍是.
詳解:(I)設,,
可知圓經過橢圓焦點和上下頂點,得,
由題意知,得,
由,得,
所以橢圓的方程為,
點P的座標為.
(II)由過點P的直線l2與橢圓相交於兩點,知直線l2的斜率存在,
設l2的方程為,由題意可知,
聯立橢圓方程,得,
設,則,得,
所以;
由直線l1與l2垂直,可設l1的方程為,即
圓心到l1的距離,又圓的半徑,
所以,
,
由即,得,
,
設,則,,
若且唯若即時,取“=”,
所以△ABC的面積的取值範圍是.
點睛:(1)直線與拋物線的位置關係和直線與橢圓、雙曲線的位置關係類似,一般要用到根與係數的關係;
(2)有關直線與拋物線的弦長問題,要注意直線是否過拋物線的焦點,若過拋物線的焦點,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不過焦點,則必須用一般弦長公式.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題
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