已知橢圓的一個頂點為，右焦點為，且，其中為原點．（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）已知點滿足，點在橢圓上（異於橢圓的頂點...

問題詳情：

已知橢圓的一個頂點為，右焦點為，且，其中為原點．

（Ⅰ）求橢圓方程；

（Ⅱ）已知點滿足，點在橢圓上（異於橢圓的頂點），直線與以為圓心的圓相切於點，且為線段的中點．求直線的方程．

【回答】

（Ⅰ）；（Ⅱ），或．

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根據題意，並藉助，即可求出橢圓的方程；

（Ⅱ）利用直線與圓相切，得到，設出直線的方程，並與橢圓方程聯立，求出點座標，進而求出點座標，再根據，求出直線的斜率，從而得解.

【詳解】（Ⅰ）橢圓的一個頂點為，

，

由，得，

又由，得，

所以，橢圓的方程為；

（Ⅱ）直線與以為圓心的圓相切於點，所以，

根據題意可知，直線和直線的斜率均存在，

設直線的斜率為，則直線的方程為，即，

，消去，可得，解得或.

將代入，得，

所以，點的座標為，

因為為線段的中點，點的座標為，

所以點的座標為，

由，得點的座標為，

所以，直線的斜率為，

又因為，所以，

整理得，解得或.

所以，直線的方程為或.

【點睛】本題考查了橢圓標準方程的求解、直線與橢圓的位置關係、直線與圓的位置關係、中點座標公式以及直線垂直關係的應用，考查學生的運算求解能力，屬於中檔題.當看到題目中出現直線與圓錐曲線位置關係的問題時，要想到聯立直線與圓錐曲線的方程.

知識點：大學聯考試題

題型：解答題