如圖，拋物線（）過點和，點是拋物線的頂點，點是軸下方拋物線上的一點，連線，．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖...

問題詳情：

如圖，拋物線（）過點和，點是拋物線的頂點，點是軸下方拋物線上的一點，連線，．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖①，當時，求點的座標；

（3）如圖②，在（2）的條件下，拋物線的對稱軸交軸於點，交線段於點，點是線段上的動點（點不與點和點重合，連線，將沿摺疊，點的對應點為點，與的重疊部分為，在座標平面內是否存在一點，使以點，，，為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點的座標，若不存在，請說明理由．

【回答】

（1）；（2）；（3）存在，(，)或(，)或(，)

【解析】

（1）把點O(0，0)和A(6，0)分別代入解析式即可求解；

（2）分別求得點B、C、E的座標，用待定係數法求得直線的解析式，解方程組即可求得點D的座標；

（3）分三種情況討論，利用解直角三角形求解即可．

【詳解】

（1）把點和分別代入中，得：

，

解得，

∴拋物線的解析式為；

（2）如圖，設拋物線的對稱軸與軸相交於點C，與相交於點E，

∵，

∴頂點，對稱軸與軸的交點C(3，0)，

∴OC=3， CB=，

∵在中，，

∴，

∵，

∴，

∴在中，，

∴點E的座標為(3，)，

設直線的解析式是（），

把點E (3，)代入，得：

解得，

∴直線的解析式是，

∴，

解得（捨去），，

∴當時，，

∴點D的座標為(5，)；

（3）存在，理由如下：

由（2）得：∠COE=∠EOB=30，CE=，BE=OE=2CE=2，

①當∠EFG=90時，如圖：

點、G與點O重合，此時四邊形EFGH為矩形，

過H作HP⊥OC於P，

∵∠COE=∠EOB=30，

∴OH=EF=CE=，

∴∠HOP=90-∠COE-∠EOB=30，

∴HP=OH=，OP=HP=，

點H的座標為(，)；

②當∠EGF=90時，此時四邊形EGFH為矩形，如圖：

∵∠CEO=90-∠COE=60，∠OEG=90-∠EOB=60，

∠BEG=180-∠CEO-∠OEG=60，

根據摺疊的*質：∠EF=∠BEF==30，

在Rt△EGF中，∠EGF=90，∠GEF=30，GE=CE=，

∴GF=GE=1，

∴EH=GF=1，

過H作HQ⊥BC於Q，

∴∠HEQ=90-∠BEG =30，

∴HQ=EH=，EQ=HQ=，

點H的座標為(，)，即(，)；

③當點G在OD上，且∠EGF=90時，此時四邊形EGFH為矩形，如圖：

∵∠BOE=30，

∴∠OFG=90-∠EOB=60，

根據摺疊的*質：∠E=∠BFE== =60，

∴FG是線段OE的垂直平分線，

∴OG=GE=OE=，EH=GF=OG=1，

過H作HK⊥BC於K，

∴∠HEK=180-∠OEC-∠OEH=30，

∴HK=EH=，EK=HK=，

點H的座標為(，)，即(，)；

綜上，符合條件的點H的座標為(，)或(，)或(，) ．

【點睛】

本題是二次函式與幾何的綜合題考查了待定係數法求函式解析式，解直角三角形，含30度角的直角三角形的*質，翻折變換，矩形的*質等知識，解題的關鍵是注意數形結合思想和分類討論的思想解決問題，屬於會考壓軸題．

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：解答題