如圖，拋物線交x軸於A，B兩點，交y軸於點C．直線經過點A，C．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是拋物線上一...

問題詳情：

如圖，拋物線交x軸於A，B兩點，交y軸於點C．直線經過點A，C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是拋物線上一動點，過點P作x軸的垂線，交直線AC於點M，設點P的橫座標為m．

①當是直角三角形時，求點P的座標；

②作點B關於點C的對稱點，則平面記憶體在直線l，使點M，B，到該直線的距離都相等．當點P在y軸右側的拋物線上，且與點B不重合時，請直接寫出直線的解析式．（k，b可用含m的式子表示）

【回答】

（1）（2）①或，②直線l的解析式為,或.

【解析】

（1）利用一次函式圖象上點的座標特徵可求出點A，C的座標，根據點A，C的座標，利用待定係數法可求出二次函式解析式； （2）①由PM⊥x軸可得出∠PMC≠90°，分∠MPC=90°及∠PCM=90°兩種情況考慮：（i）當∠MPC=90°時，PC∥x軸，利用二次函式圖象上點的座標特徵可求出點P的座標；（ii）當∠PCM=90°時，設PC與x軸交於點D，易*△AOC∽△COD，利用相似三角形的*質可求出點D的座標，根據點C，D的座標，利用待定係數法可求出直線PC的解析式，聯立直線PC和拋物線的解析式成方程組，通過解方程組可求出點P的座標．綜上，此問得解； ②利用二次函式圖象上點的座標特徵及一次函式圖象上點的座標特徵可得出點B，M的座標，結合點C的座標可得出點B′的座標，根據點M，B，B′的座標，利用待定係數法可分別求出直線BM，B′M和BB′的解析式，利用平行線的*質可求出直線l的解析式．

【詳解】

解：（1）當時，，

點C的座標為；

當時，，

解得：，

點A的座標為．

將，代入，得：

，解得：，

拋物線的解析式為．

（2）①軸，

，

分兩種情況考慮，如圖1所示．

（i）當時，軸，

點P的縱座標為﹣2．

當時，，

解得：，，

點P的座標為；

（ii）當時，設PC與x軸交於點D．

，，

．

又，

，

，即，

，

點D的座標為．

設直線PC的解析式為，

將，代入，得：

，解得：，

直線PC的解析式為．

聯立直線PC和拋物線的解析式成方程組，得：，

解得：，，

點P的座標為．

綜上所述：當是直角三角形時，點P的座標為或．

②當y=0時，,

解得：x1=-4，x2=2， ∴點B的座標為（2，0）． ∵點C的座標為（0，-2），點B，B′關於點C對稱， ∴點B′的座標為（-2，-4）． ∵點P的橫座標為m（m＞0且m≠2）， ∴點M的座標為,

利用待定係數法可求出：直線BM的解析式為，直線B′M的解析式為，直線BB′的解析式為y=x-2． 分三種情況考慮，如圖2所示：

當直線l∥BM且過點C時，直線l的解析式為,

當直線l∥B′M且過點C時，直線l的解析式為,

當直線l∥BB′且過線段CM的中點時，直線l的解析式為,

綜上所述：直線l的解析式為,或.

【點睛】

本題考查了一次函式圖象上點的座標特徵、待定係數法二次函式解析式、二次函式圖象上點的座標特徵、待定係數法求一次函式解析式、相似三角形的判定與*質以及平行線的*質，解題的關鍵是：（1）根據點的座標，利用待定係數法求出二次函式解析式；（2）①分∠MPC=90°及∠PCM=90°兩種情況求出點P的座標；②利用待定係數法及平行線的*質，求出直線l的解析式．

知識點：一次函式

題型：解答題