如圖1,四邊形ABCD是正方形,點E是AB邊的中點,以AE為邊作正方形AEFG,連線DE,BG.(1)發現①線...
問題詳情:
如圖1,四邊形ABCD是正方形,點E是AB邊的中點,以AE為邊作正方形AEFG,連線DE,BG.
(1)發現
①線段DE、BG之間的數量關係是 ;
②直線DE、BG之間的位置關係是 .
(2)探究
如圖2,將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉,(1)中的結論是否仍然成立?若成立,請給出*;若不成立,請說明理由.
(3)應用
如圖3,將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉一週,記直線DE與BG的交點為P,若AB=4,請直接寫出點P到CD所在直線距離的最大值和最小值.
【回答】
【解答】解:(1)發現
①線段DE、BG之間的數量關係是:DE=BG,
理由是:如圖1,∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BDA=90°,
∴∠BAG=∠BAD=90°,
∵四邊形AEFG是正方形,
∴AE=AG,
∴△AED≌△AGB,
∴DE=BG;
②直線DE、BG之間的位置關係是:DE⊥BG,
理由是:如圖2,延長DE交BG於Q,
由△AED≌△AGB得:∠ABG=∠ADE,
∵∠AED+∠ADE=90°,∠AED=∠BEQ,
∴∠BEQ+∠ABG=90°,
∴∠BQE=90°,
∴DE⊥BG;
故*為:①DE=BG;②DE⊥BG;
(2)探究
(1)中的結論仍然成立,理由是:
①如圖3,∵四邊形AEFG和四邊形ABCD是正方形,
∴AE=AG,AD=AB,∠EAG=∠DAB=90°,
∴∠EAD=∠GAB=90°+∠EAB,
在△EAD和△GAB中,
,
∴△EAD≌△GAB(SAS),
∴ED=GB;
②ED⊥GB,
理由是:∵△EAD≌△GAB,
∴∠GBA=∠EDA,
∵∠AMD+∠ADM=90°,∠BMH=∠AMD,
∴∠BMH+∠GBA=90°,
∴∠DHB=180°﹣90°=90°,
∴ED⊥GB;
(3)應用
將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉一週,即點E和G在以A為圓心,以2為半徑的圓上,
過P作PH⊥CD於H,
①當P與F重合時,此時PH最小,如圖4,
在Rt△AED中,AD=4,AE=2,
∴∠ADE=30°,DE==2,
∴DF=DE﹣EF=2﹣2,
∵AD⊥CD,PH⊥CD,
∴AD∥PH,
∴∠DPH=∠ADE=30°,
cos30°==,
∴PH=(2﹣2)=3﹣;
②∵DE⊥BG,∠BAD=90°,
∴以BD的中點O為圓心,以BD為直徑作圓,P、A在圓上,
當P在的中點時,如圖5,此時PH的值最大,
∵AB=AD=4,
由勾股定理得:BD=4,
則半徑OB=OP=2
∴PH=2+2.
綜上所述,點P到CD所在直線距離的最大值是2+2,最小值是3﹣.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:解答題
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