如圖1，點E是正方形ABCD邊CD上任意一點，以DE為邊作正方形DEFG，連線BF，點M是線段BF中點，*線E...

問題詳情：

如圖1，點E是正方形ABCD邊CD上任意一點，以DE為邊作正方形DEFG，連線BF，點M是線段BF中點，*線EM與BC交於點H，連線CM．

（1）請直接寫出CM和EM的數量關係和位置關係；

（2）把圖1中的正方形DEFG繞點D順時針旋轉45°，此時點F恰好落線上段CD上，如圖2，其他條件不變，（1）中的結論是否成立，請說明理由；

（3）把圖1中的正方形DEFG繞點D順時針旋轉90°，此時點E、G恰好分別落線上段AD、CD上，如圖3，其他條件不變，（1）中的結論是否成立，請說明理由．

【回答】

解：（1）如圖1，結論：CM=EM，CM⊥EM．

理由：∵AD∥EF，AD∥BC，∴BC∥EF，∴∠EFM=∠HBM．在△FME和△BMH中，，∴△FME≌△BMH，∴HM=EM，EF=BH．

∵CD=BC，∴CE=CH1∠HCE=90°，HM=EM，∴CM=ME，CM⊥EM．

（2如圖2，連線AE，

∵四邊形ABCD和四邊形EDGF是正方形，∴∠FDE=45°，∠CBD=45°，∴點B、E、D在同一條直線上．

∵∠BCF=90°，∠BEF=90°，M為AF的中點，∴CM=AF，EM=AF，∴CM=ME．

∵∠EFD=45°，∴∠EFC=135°．

∵CM=FM=ME，∴∠MCF=∠MFC，∠MFE=∠MEF，∴∠MCF+∠MEF=135°，∴∠CME=360°﹣135°﹣135°=90°，∴CM⊥ME．

（3）如圖3，連線CF，MG，作MN⊥CD於N，

在△EDM和△GDM中，，∴△EDM≌△GDM，∴ME=MG，∠MED=∠MGD．

∵M為BF的中點，FG∥MN∥BC，∴GN=NC，又MN⊥CD，∴MC=MG，∴MD=ME，∠MCG=∠MGC．

∵∠MGC+∠MGD=180°，∴∠MCG+∠MED=180°，∴∠CME+∠CDE=180°．

∵∠CDE=90°，∴∠CME=90°，∴（1）中的結論成立．

知識點：各地會考

題型：解答題