在邊長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中點，F是DD1的中點，（1）求點A到平面A1DE的...

問題詳情：

在邊長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中點，F是DD1的中點，

（1）求點A到平面A1DE的距離；

（2）求*：CF∥平面A1DE；

（3）求二面角E﹣A1D﹣A的平面角大小的餘弦值．

【回答】

【考點】點、線、面間的距離計算；直線與平面平行的判定；二面角的平面角及求法．

【專題】綜合題；空間角．

【分析】（1）分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸建立空間直角座標系，利用向量的點到平面的距離公式即可求得點A到平面A1DE的距離；

（2）確定•=﹣2+2=0，可得⊥，從而可得CF∥平面A1DE；

（3）確定平面A1DA的法向量、平面A1DE的法向量，利用向量的夾角公式，即可得到結論．

【解答】（1）解：分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸建立空間直角座標系，則A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），

D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1），

∴=（2，0，2），=（1，2，0），=（2，0，0）

設平面A1DE的法向量是=（a，b，c）

則，∴=（﹣2，1，2）

∴點A到平面A1DE的距離是d==；

（2）*：∵=（0，﹣2，1），

∴•=﹣2+2=0，∴⊥，

∴CF∥平面A1DE；

（3）解：∵平面A1DA的法向量為=（0，2，0），平面A1DE的法向量是=（﹣2，1，2）

∴cos＜＞===．

【點評】本小題主要考查點、線、面間的距離計算、直線與平面平行的判定等基礎知識，考查運算求解能力，考查空間想象能力，屬於中檔題．

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題