在矩形中,點E是*線上一動點,連線,過點B作於點G,交直線於點F.(1)當矩形是正方形時,以點F為直角頂點在正...
問題詳情:
在矩形中,點E是*線上一動點,連線,過點B作於點G,交直線於點F.
(1)當矩形是正方形時,以點F為直角頂點在正方形的外部作等腰直角三角形,連線.
①如圖1,若點E線上段上,則線段與之間的數量關係是________,位置關係是_________;
②如圖2,若點E線上段的延長線上,①中的結論還成立嗎?如果成立,請給予*;如果不成立,請說明理由;
(2)如圖3,若點E線上段上,以和為鄰邊作,M是中點,連線,,,求的最小值.
【回答】
(1)①相等;垂直;②成立,理由見解析;(2)
【解析】
(1)①*△ABE≌△BCF,得到BE=CF,AE=BF,再*四邊形BEHF為平行四邊形,從而可得結果;
②根據(1)中同樣的*方法求*即可;
(2)說明C、E、G、F四點共圓,得出GM的最小值為圓M半徑的最小值,設BE=x,*△ABE∽△BCF,得到CF,再利用勾股定理表示出EF=,求出最值即可得到GM的最小值.
【詳解】
解:(1)①∵四邊形ABCD為正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°,即∠BAE+∠AEB=90°,
∵AE⊥BF,
∴∠CBF+∠AEB=90°,
∴∠CBF=∠BAE,又AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°,
∴△ABE≌△BCF(AAS),
∴BE=CF,AE=BF,
∵△FCH為等腰直角三角形,
∴FC=FH=BE,FH⊥FC,而CD⊥BC,
∴FH∥BC,
∴四邊形BEHF為平行四邊形,
∴BF∥EH且BF=EH,
∴AE=EH,AE⊥EH,
故*為:相等;垂直;
②成立,理由是:
當點E線上段BC的延長線上時,
同理可得:△ABE≌△BCF(AAS),
∴BE=CF,AE=BF,
∵△FCH為等腰直角三角形,
∴FC=FH=BE,FH⊥FC,而CD⊥BC,
∴FH∥BC,
∴四邊形BEHF為平行四邊形,
∴BF∥EH且BF=EH,
∴AE=EH,AE⊥EH;
(2)∵∠EGF=∠BCD=90°,
∴C、E、G、F四點共圓,
∵四邊形BCHF是平行四邊形,M為BH中點,
∴M也是EF中點,
∴M是四邊形BCHF外接圓圓心,
則GM的最小值為圓M半徑的最小值,
∵AB=3,BC=2,
設BE=x,則CE=2-x,
同(1)可得:∠CBF=∠BAE,
又∵∠ABE=∠BCF=90°,
∴△ABE∽△BCF,
∴,即,
∴CF=,
∴EF=
=
=,
設y=,
當x=時,y取最小值,
∴EF的最小值為,
故GM的最小值為.
【點睛】
本題考查了全等三角形的判定和*質,相似三角形的判定和*質,平行四邊形的*質,二次函式的最值,圓的*質,難度較大,找出圖形中的全等以及相似三角形是解題的關鍵.
知識點:相似三角形
題型:綜合題
-
在下列向量組中,可以把向量表示出來的是( )A B. C. D.
問題詳情:在下列向量組中,可以把向量表示出來的是( )A B. C. D. 【回答】知識點:大學聯考試題題型:選擇題...
-
______Icouldn’tfullyunderstandwhathewantedtoshowinhispa...
問題詳情:______Icouldn’tfullyunderstandwhathewantedtoshowinhispaintings,Ithoughthisworksquiteimpressive. A.As B.Since C.If ...
-
—Thestateofillnessiscomplicated.Weneedanexperienceddoct...
問題詳情:—Thestateofillnessiscomplicated.Weneedanexperienceddoctor.—Whomwouldyouliketohave____? A.sentfor B.sendfor C.tosendfor D.beens...
-
如圖所示,細繩MO與NO所能承受的最大拉力相同,長度MO>NO,則在不斷增加重物G重力的過程中(繩OC不...
問題詳情:如圖所示,細繩MO與NO所能承受的最大拉力相同,長度MO>NO,則在不斷增加重物G重力的過程中(繩OC不會斷): ( ) A.ON繩先被拉斷B.OM繩先被拉斷C.ON繩和OM繩同時被拉斷D.因無具體數...
相關文章
- 菱形的對角線相交於點O,,點G是*線上一個動點,過點G作交*線於點E,以為鄰邊作矩形.(1)如圖1,當點F線上...
- 如圖,在矩形中,,,對角線相交於點,點為邊上一動點,連線,以為摺痕,將摺疊,點的對應點為點,線段與相交於點.若...
- 如圖,在矩形中,為對角線的中點,過點作直線分別與矩形的邊,交於,兩點,連線,.(1)求*:四邊形為平行四邊形;...
- 如圖,已知正方形的邊長為,點是邊上的一個動點,連線,過點作的垂線交於點,以為邊作正方形,頂點線上段上,對角線、...
- 己知,在中,,,點為直線上一動點(點不與點,重合).以為邊作正方形,連線.(1)如圖1,當點線上段上時,求*:...
- 在矩形中,,是邊上一點,把沿直線摺疊,頂點的對應點是點,過點作,垂足為且在上,交於點.(1)如圖1,若點是的中...
- 如圖,在平行四邊形中,點是對角線的中點,點是上一點,且,連線並延長交於點,過點作的垂線,垂足為,交於點.(1)...
- 在正方形中,,點在邊上,,點是在*線上的一個動點,過點作的平行線交*線於點,點在*線上,使始終與直線垂直. ...
- 如圖,在正方形中,對角線相交於點O,點E在BC邊上,且,連線AE交BD於點G,過點B作於點F,連線OF並延長,...
- 如圖,直線與雙曲線交於點,,點是直線上一動點,且點在第二象限,連線並延長交雙曲線於點,過點作軸,垂足為點.過點...