如圖,在矩形ABCD中,點E是AD上的一個動點,連結BE,作點A關於BE的對稱點F,且點F落在矩形ABCD的內...
問題詳情:
如圖,在矩形ABCD中,點E是AD上的一個動點,連結BE,作點A關於BE的對稱點F,且點F落在矩形ABCD的內部,連結AF,BF,EF,過點F作GF⊥AF交AD於點G,設=n.
(1)求*:AE=GE;
(2)當點F落在AC上時,用含n的代數式表示的值;
(3)若AD=4AB,且以點F,C,G為頂點的三角形是直角三角形,求n的值.
【回答】
解:設AE=a,則AD=na,
(1)由對稱知,AE=FE,
∴∠EAF=∠EFA,
∵GF⊥AF,
∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°,
∴∠FGA=∠EFG,
∴EG=EF,
∴AE=EG;
(2)如圖1,當點F落在AC上時,
由對稱知,BE⊥AF,
∴∠ABE+∠BAC=90°,
∵∠DAC+∠BAC=90°,
∴∠ABE=∠DAC,
∵∠BAE=∠D=90°,
∴△ABE∽△DAC,
∴,∵AB=DC,
∴AB2=AD•AE=na2,
∵AB>0,
∴AB=a,
∴;
(3)若AD=4AB,則AB=a,
如圖2,當點F落線上段BC上時,EF=AE=AB=a,此時a=a,
∴n=4,
∴當點F落在矩形內部時,n>4,
∵點F落在矩形內部,點G在AD上,
∴∠FCG<∠BCD,
∴∠FCG<90°,
①當∠CFG=90°時,
如圖3,則點F落在AC上,
由(2)得,,
∴n=16,
②當∠CGF=90°時,則∠CGD+∠AGF=90°,
∵∠FAG+∠AGF=90°,
∴∠CGD=∠FAG=∠ABE,
∵∠BAE=∠D=90°,
∴△ABE∽△DGC,
∴,
∴AB•DC=DG•AE,
∵DG=AD﹣AE﹣EG=na﹣2a=(n﹣2)a,
∴(a)2=(n﹣2)a•a,
∴n=8+4或n=8﹣4(舍),
∴當n=16或n=8+4時,以點F,C,G為頂點的三角形是直角三角形.
知識點:相似三角形
題型:解答題
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