已知橢圓的焦點是,,且,離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)過橢圓右焦點的直線交橢圓於,兩點.(i)求的最小值...
問題詳情:
已知橢圓的焦點是,,且,離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過橢圓右焦點的直線交橢圓於,兩點.
(i)求的最小值;
(ii)點是直線上異於的一點,且滿足,求*:點在一條定直線上.
【回答】
(1);(2)(i)最小值是;(ii)*見解析.
【分析】
(1)根據題中條件,求出,,即可得出橢圓方程;
(2)(i)先由(1)知,先討論線的斜率不存在,求出;再討論直線的斜率存在,設直線的方程為,聯立直線與橢圓方程,根據韋達定理,以及兩點間距離公式,求出,進而可得出結果;
(ii)先由題意得,直線的斜率一定存在,所以設點的座標是,根據題中條件,得到,化簡整理,求出,即可*結論成立.
【詳解】
(1)因為橢圓的焦點是,,且,所以半焦距.
因為離心率為,所以,所以.
所以橢圓的方程是.
(2)(i)由(1)知,
當直線的斜率不存在時,不妨設,所以.
當直線的斜率存在時,直線的方程可設為.
聯立方程消去,整理得.
所以,.
所以,.
所以
,
因為,
所以的取值範圍是.
因為當直線的斜率不存在時,,
所以的最小值是.
(ii)*:由題意得,直線的斜率一定存在.因為點在直線上,所以設點的座標是.
因為,
所以點一定在的延長線上,
所以,
即.
所以.
化簡得.所以點的座標是.
因此點在定直線上.
【點睛】
本題主要考查求橢圓的方程,考查橢圓中的定值問題,熟記橢圓的標準方程,以及橢圓的簡單*質即可,屬於常考題型.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題
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