已知橢圓C：的離心率為，且過點A（2，1）．（1）求C的方程：（2）點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，...

問題詳情：

已知橢圓C：的離心率為，且過點A（2，1）．

（1）求C的方程：

（2）點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．*：存在定點Q，使得|DQ|為定值．

【回答】

（1）；（2）詳見解析.

【解析】

【分析】

(1)設出橢圓方程，由題意得到關於a,b,c的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程.

(2)設出點M，N的座標，聯立直線方程與橢圓方程可*得直線MN恆過定點，然後結合直角三角形的*質即可確定滿足題意的點Q的位置.

【詳解】(1)設橢圓方程為：，由題意可得：，

解得：，故橢圓方程為：.

(2)設點.因為AM⊥AN，所以.

整理可得：         ①

設MN的方程為y=kx+m，

聯立直線與橢圓方程可得：，

韋達定理可得：

，

，，

代入①式有：，

化簡可得：，

即，

據此可得：或，

所以直線MN的方程為或，

即或，

所以直線過定點或.

又因為和A點重合，所以捨去，則直線過定點.

由於AE為定值，且△AED為直角三角形，AE為斜邊，

所以AE中點Q滿足為定值（AE長度的一半）.

由於，故由中點座標公式可得.

【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：

(1)注意觀察應用題設中每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；

(2)強化有關直線與橢圓聯立得出一元二次方程後的運算能力，重視根與係數之間的關係、弦長、斜率、三角形的面積等問題．

知識點：大學聯考試題

題型：解答題