已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,離心率為,且過點P.(1)求橢圓的標準方程;(2)已知斜率為1的直線l過橢圓...
問題詳情:
已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,離心率為,且過點P.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)已知斜率為1的直線l過橢圓的右焦點F交橢圓於A.B兩點,求弦AB的長.
【回答】
(1);(2)
【分析】
(1)先設橢圓的方程,再利用的橢圓C的離心率為,且過點(),即可求得橢圓C的方程;(2)設出A、B的座標,由橢圓方程求出橢圓右焦點座標,得到A、B所在直線方程,與橢圓方程聯立,化為關於x的一元二次方程,利用根與係數的關係可得A、B橫座標的和與積,代入弦長公式求弦AB的長.
【詳解】
(1) 設橢圓方程為,橢圓的半焦距為c,
∵橢圓C的離心率為,
∴,∴,①
∵橢圓過點(),
∴②
由①②解得:b2=,a2=4
∴橢圓C的方程為.
(2) 設A、B的座標分別為A(x1,y1)、B(x2,y2).
由橢圓的方程知a2=4,b2=1,c2=3,
∴F(,0).
直線l的方程為y=x﹣.
聯立,得5x2﹣8x+8=0,
∴x1+x2=,x1x2=,
∴|AB|=
==.
【點睛】
本題考查橢圓方程的求法,考查直線方程和橢圓方程聯立,運用韋達定理和絃長公式,考查運算能力,屬於中檔題.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題
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