已知橢圓.（Ⅰ）我們知道圓具有*質：若為圓O：的弦AB的中點，則直線AB的斜率與直線OE的斜率的乘積為定值。類...

問題詳情：

已知橢圓.

（Ⅰ）我們知道圓具有*質：若為圓O：的弦AB的中點，則直線AB的斜率與直線OE的斜率的乘積為定值。類比圓的這個*質，寫出橢圓的類似*質，並加以*；

（Ⅱ）如圖（1），點B為在第一象限中的任意一點，過B作的切線，分別與x軸和y軸的正半軸交於C，D兩點，求三角形OCD面積的最小值；

（Ⅲ）如圖（2），過橢圓上任意一點作的兩條切線PM和PN，切點分別為M，N.當點P在橢圓上運動時，是否存在定圓恆與直線MN相切？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由.

圖（1）                                     圖（2）

【回答】

解：（Ⅰ）若A，B為橢圓上相異的兩點，為A，B中點，當直線AB

            的斜率與直線OP的斜率的乘積必為定值;----- -------------1分

     *1：設，則

          （2）-（1）得：，-----------2分

           僅考慮斜率存在的情況：----------------------------------------4分

     *2：設AB：與橢圓聯立得：

         ， --------------2分

         所以----------4分

   （Ⅱ）（ⅰ）當點A無限趨近於點B時，割線AB的斜率就等於橢圓上的B的切線的斜率，

              即，

所以點B處的切線QB：----------------6分

令，，令，所以-----------------8分

又點B在橢圓的第一象限上，所以

，若且唯若

所以當時，三角形OCD的面積的最小值為-------10分（沒寫等號成立扣1分）

（ⅱ）設，由（ⅰ）知點處的切線為：

又過點，所以，又可理解為點在直線上

同理點在直線上，所以直線MN的方程為：　--------------------------12分

所以原點O到直線MN的距離，----------13分

所以直線MN始終與圓相切. 　------------------------14分

知識點：圓錐曲線與方程

題型：綜合題