如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中點，E，F分別是AC，BC上的點...

問題詳情：

如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中點，E，F分別是AC，BC上的點（點E不與端點A，C重合），且AE=CF，連線EF並取EF的中點O，連線DO並延長至點G，使GO=OD，連線DE，DF，GE，GF．

（1）求*：四邊形EDFG是正方形；

（2）當點E在什麼位置時，四邊形EDFG的面積最小？並求四邊形EDFG面積的最小值

【回答】

【解答】（1）*：連線CD，如圖1所示．

∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是AB的中點，

∴∠A=∠DCF=45°，AD=CD．

在△ADE和△CDF中，，

∴△ADE≌△CDF（SAS），

∴DE=DF，∠ADE=∠CDF．

∵∠ADE+∠EDC=90°，

∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，

∴△EDF為等腰直角三角形．

∵O為EF的中點，GO=OD，

∴GD⊥EF，且GD=2OD=EF，

∴四邊形EDFG是正方形；

（2）解：過點D作DE′⊥AC於E′，如圖2所示．

∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=4，

∴DE′=BC=2，AB=4，點E′為AC的中點，

∴2≤DE＜2（點E與點E′重合時取等號）．

∴4≤S四邊形EDFG=DE2＜8．

∴當點E為線段AC的中點時，四邊形EDFG的面積最小，該最小值為4．

知識點：各地會考

題型：解答題