如圖,一豎直圓管質量為M,下端距水平地面的高度為H,頂端塞有一質量為m的小球。圓管由靜止自由下落,與地面發生多...
問題詳情:
如圖,一豎直圓管質量為M,下端距水平地面的高度為H,頂端塞有一質量為m的小球。圓管由靜止自由下落,與地面發生多次**碰撞,且每次碰撞時間均極短;在運動過程中,管始終保持豎直。已知M =4m,球和管之間的滑動摩擦力大小為4mg, g為重力加速度的大小,不計空氣阻力。
(1)求管第一次與地面碰撞後的瞬間,管和球各自的加速度大小;
(2)管第一次落地*起後,在上升過程中球沒有從管中滑出,求管上升的最大高度;
(3)管第二次落地*起的上升過程中,球仍沒有從管中滑出,求圓管長度應滿足的條件。
【回答】
(1)a1=2g,a2=3g;(2);(3)
【詳解】
(1)管第一次落地*起的瞬間,小球仍然向下運動。設此時管的加速度大小為a1,方向向下;球的加速度大小為a2,方向向上;球與管之間的摩擦力大小為f,由牛頓運動定律有
Ma1=Mg+f ①
ma2= f– mg ②
聯立①②式並代入題給資料,得
a1=2g,a2=3g③
(2)管第一次碰地前與球的速度大小相同。由運動學公式,碰地前瞬間它們的速度大小均為
④
方向均向下。管*起的瞬間,管的速度反向,球的速度方向依然向下。
設自*起時經過時間t1,管與小球的速度剛好相同。取向上為正方向,由運動學公式
v0–a1t1= –v0+a2t1⑤
聯立③④⑤式得
⑥
設此時管下端的高度為h1,速度為v。由運動學公式可得
⑦
⑧
由③④⑥⑧式可判斷此時v>0。此後,管與小球將以加速度g減速上升h2,到達最高點。由運動學公式有
⑨
設管第一次落地*起後上升的最大高度為H1,則
H1= h1+ h2⑩
聯立③④⑥⑦⑧⑨⑩式可得
⑪
(3)設第一次*起過程中球相對管的位移為x1。在管開始下落到上升H1這一過程中,由動能定理有
Mg(H–H1)+mg(H–H1+x1)–4mgx1=0⑫
聯立⑪⑫式並代入題給資料得
⑬
同理可推得,管與球從再次下落到第二次*起至最高點的過程中,球與管的相對位移x2為
⑭
設圓管長度為L。管第二次落地*起後的上升過程中,球不會滑出管外的條件是
x1+ x2≤L⑮
聯立⑪⑬⑭⑮式,L應滿足條件為
⑯
知識點:牛頓運動定律的應用
題型:解答題
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