如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交於點O,AE平分∠BAC,交BC於點E.作DF⊥AE於點H,分別交...
問題詳情:
如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交於點O,AE平分∠BAC,交BC於點E.作DF⊥AE於點H,分別交AB,AC於點F,G.
(1)判斷△AFG的形狀並說明理由.
(2)求*:BF=2OG.
【遷移應用】
(3)記△DGO的面積為S1,△DBF的面積為S2,當=時,求的值.
【拓展延伸】
(4)若DF交*線AB於點F,【*質探究】中的其餘條件不變,連結EF,當△BEF的面積為矩形ABCD面積的時,請直接寫出tan∠BAE的值.
【回答】
(1)解:如圖1中,△AFG是等腰三角形.
理由:∵AE平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
∵DF⊥AE,
∴∠AHF=∠AHG=90°,
∵AH=AH,
∴△AHF≌△AHG(ASA),
∴AF=AG,
∴△AFG是等腰三角形.
(2)*:如圖2中,過點O作OL∥AB交DF於L,則∠AFG=∠OLG.
∵AF=AG,
∴∠AFG=∠AGF,
∵∠AGF=∠OGL,
∴∠OGL=∠OLG,
∴OG=OL,
∵OL∥AB,
∴△DLO∽△DFB,
∴=,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴BD=2OD,
∴BF=2OL,
∴BF=2OG.
(3)解:如圖3中,過點D作DK⊥AC於K,則∠DKA=∠CDA=90°,
∵∠DAK=∠CAD,
∴△ADK∽△ACD,
∴=,
∵S1=•OG•DK,S2=•BF•AD,
又∵BF=2OG,=,
∴==,設CD=2x,AC=3x,則AD=2x,
∴==.
(4)解:設OG=a,AG=k.
①如圖4中,連線EF,當點F線上段AB上時,點G在OA上.
∵AF=AG,BF=2OG,
∴AF=AG=k,BF=2a,
∴AB=k+2a,AC=2(k+a),
∴AD2=AC2﹣CD2=[2(k+a)]2﹣(k+2a)2=3k2+4ka,
∵∠ABE=∠DAF=90°,∠BAE=∠ADF,
∴△ABE∽△DAF,
∴=,
∴=,
∴BE=,
由題意:10××2a×=AD•(k+2a),
∴AD2=10ka,
即10ka=3k2+4ka,
∴k=2a,
∴AD=2a,
∴BE==a,AB=4a,
∴tan∠BAE==.
②如圖5中,當點F在AB的延長線上時,點G線上段OC上,連線EF.
∵AF=AG,BF=2OG,
∴AF=AG=k,BF=2a,
∴AB=k﹣2a,AC=2(k﹣a),
∴AD2=AC2﹣CD2=[2(k﹣a)]2﹣(k﹣2a)2=3k2﹣4ka,
∵∠ABE=∠DAF=90°,∠BAE=∠ADF,
∴△ABE∽△DAF,
∴=,
∴=,
∴BE=,
由題意:10××2a×=AD•(k﹣2a),
∴AD2=10ka,
即10ka=3k2﹣4ka,
∴k=a,
∴AD=a,
∴BE==a,AB=a,
∴tan∠BAE==,
綜上所述,tan∠BAE的值為或.
【分析】(1)如圖1中,△AFG是等腰三角形.利用全等三角形的*質*即可.
(2)如圖2中,過點O作OL∥AB交DF於L,則∠AFG=∠OLG.首先*OG=OL,再*BF=2OL即可解決問題.
(3)如圖3中,過點D作DK⊥AC於K,則∠DKA=∠CDA=90°,利用相似三角形的*質解決問題即可.
(4)設OG=a,AG=k.分兩種情形:①如圖4中,連線EF,當點F線上段AB上時,點G在OA上.②如圖5中,當點F在AB的延長線上時,點G線上段OC上,連線EF.分別求解即可解決問題.
知識點:各地會考
題型:綜合題
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